Matematika Bermakna

 

Dalam proses belajar mengajar, masih banyak pengajar matematika yang mengajarkan prosedur dengan tanpa menjelaskan mengapa prosedur tersebut digunakan. Sehingga siswa beranggapan bahwa dalam menyelesaikan masalah, cukup memilih prosedur penyelesaian yang sesuai dengan masalah yang diberikan. Dalam hal ini fokus pembelajaran tidak pada mengapa prosedur tertentu itu yang digunakan untuk menyelesaikan, tetapi prosedur mana yang dipilih untuk menyelesaikan masalah dan pada bagaimana menyelesaikan dengan prosedur tersebut. Bahkan seringkali terjadi, dalam menanamkan konsep hanya menekankan bahwa konsep-konsep itu merupakan aturan yang harus dihafal, tidak perlu tahu dari mana asal-usul rumus tersebut.

Sebagai contoh rumus Phitagoras adalah c2 = a2 + b2 (dengan c sebagai sisi miring dan a, b sisi siku-siku), rumus luas lingkaran adalah r2, rumus luas bola adalah 4r2, dan sebagainya, merupakan rumus yang ”pokoknya” harus dihafal, kalau ingin bisa mengerjakan soal. Orientasi pembelajaran hanya pada ”pokoknya” siswa bisa mengerjakan soal yang diberikan oleh guru, meskipun apa yang dikerjakan sebenarnya tidak bermakna.

Begitupula dalam menyelesaikan sistem persamaan linear, ”pokoknya” harus dilakukan dengan cara eliminasi, substitusi, atau grafik. Dalam hal ini tidak dijelaskan: mengapa harus dengan cara-cara substitusi, eliminasi, atau grafik; apa sebenarnya substitusi dan eliminasi. Dengan demikian pembelajaran matematika menjadi tidak bermakna dan hanya sebatas ”doktrin” kepada siswa yang harus diikuti, dihafal, dan selanjutnya digunakan untuk mengerjakan soal. Dengan pembelajaran model ”doktrin”, penalaran siswa kurang berkembang. Karena itu perlu adanya

Salah satu aspek yang ditekankan dalam kurikulum berbasis kompetensi adalah meningkatkan kemampuan penalaran siswa. Kemampuan penalaran siswa merupakan aspek penting, karena dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah lain, baik masalah matematika maupun masalah kehidupan sehari-hari. Bahkan menurut Krulik dan Rudnick (1999) kemampuan penalaran merupakan aspek kunci dalam mengembang-kan kemampuan berpikir kritis dan kreatif dari siswa. Betapa pentingnya aspek penalaran ini, maka perlu adanya pengembangan kemampuan penalaran siswa dalam pembelajaran matematika, termasuk penalaran aljabar.

Untuk mengembangkan penalaran aljabar siswa, khususnya masalah persamaan, maka kepada siswa perlu disajikan masalah-masalah yang bermakna yaitu masalah yang “dekat” dengan kehidupannya. Masalah kontekstual yang banyak terkait dengan persamaan adalah masalah timbangan. Karena itu dalam tulisan ini dikaji pengembangan penalaran aljabar siswa, khususnya masalah persamaan menggunakan piktorik yang menggambarkan timbangan.

Konsep kesamaan atau keseimbangan merupakan masalah yang pokok untuk memahami persamaan dan pertidaksamaan. Siswa harus mempelajari cara-cara menstranformasi bentuk dan persamaan ke bentuk yang ekivalen, memodifikasi pertaksamaan ke pencapaian persamaan. Mereka perlu memiliki kesempatan bereksperimen dengan menyelesaikan masalah kesetimbangan yang harus dijaga ketika memodifikasi masalah (Bellman et. al., 1997). Yang termasuk modifikasi adalah menambah dengan jumlah yang sama pada kedua sisi pada kedaan setimbang, mengalikan kedua sisi dengan factor positif yang sama, dan mensubstitusi dengan besaran yang sama. Memodifikasi kesamaan merupakan konsep yang sulit untuk siswa. Seperti dua persamaan 4x = 8y dan x = 2y. Secara tulisan kedua persamaan ini terlihat berbeda. Hal ini tidak mengejutkan bahwa siswa tidak percaya bahwa pasangan yang sama untuk nilai x dan y dapat memenuhi kedua persamaan. Siswa perlu pengalaman dengan keseimbangan dan tipe-tipe berbeda dari teknik memodifikasi dalam persiapan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dalam aljabar. Untuk memberikan pengalaman bernalar dalam aljabar siswa perlu diberikan masalah-masalah yang berkaitan dengan timbangan,

Obyek mana yang harus dipindahkan ke sisi kiri timbangan (c) agar skala seimbang? Uraikan alasanmu bagaimana menyelesaikan masalah tersebut?

Pada setiap sisi timbangan, ada kumpulan obyek. Menggunakan skala berimbang (a dan b), siswa harus menganalisa isi setiap sisi timbangan, membandingkan kumpulan obyek, dan menyimpulkan hubungan tentang masa dari obyek. Mereka harus menduga obyek-obyek mana saja yang perlu ditempatkan pada sisi kiri timbangan (c) agar keadaan yang tidak setimbang menjadi setimbang.

Dalam menyelesaikan masalah tersebut, salah satu jawaban siswa (B, siswa kelas 7) adalah sebagai berikut.

Langkah 1: Pada timbangan (b) kurangi satu kotak (1K) pada kedua sisinya.

Sehingga tinggal 5 bola (5B) berimbang dengan 1 silinder (1S).

Secara aljabar

5B + 1K = 1K + 1S

5B + 1K – 1K = 1K + 1S – 1K

5B = 1S

Langkah 2: Pada timbangan (a) substitusikan 5 bola (5B) ke satu silinder (1S)

Sehingga 6 bola (6B) berimbang dengan 2 kotak (2K)

Karena itu setiap kotak (1K) sama dengan (6:2) atau 3 bola (3B)

Secara aljabar

1 S + 1 B = 2 K

5 B + 1 B = 2 K

6 B = 2K

 

3 B = 1 K

Langkah 3: Pada timbangan (c) substitusikan 3 bola (3B) ke setiap kotak

dan 5 bola (5B) ke setiap silinder.

Sehingga diperoleh 9 bola di ruas kiri dan 10 bola di sebelah kanan

Tambahkan 1 bola di sebelah kiri agar timbangan menjadi berimbang

Secara aljabar

3K < 2 S

3 (3B) < 2 (5B)

9 B < 10 B

9 B + 1 B = 10 B

Jadi yag harus ditambahkan ke ruas kiri timbangan (c) adalah 1 bola (1B).

 

Dalam peyelesaian di atas, siswa sudah menggunakan variabel (B, K, S). Dalam aljabar variable digunakan dalam berbagai macam cara. Menurut Grennes dan Vindell (1999) variable bisa menyajikan:

  • bilangan-bilangan khusus yang tidak diketahui, seperti 5 x + 3 = 12 dan x2 = 36;

  • Bermacam-macam kuantitas yang memiliki hubungan dengan variable lain, seperti y = 4x;

  • Bentuk umum nilai-nilai anggota dari himpunan bilangan, seperti x + – x = 0

  • Sebuah label atau obyek, seperti 3F = 1 Y (3 feet = 1 yard)

 

Siswa perlu memiliki pengalaman dengan variable yang merepresentasikan variable sebagai nilai yang tidak diketahui. Dalam penalaran aljabar yang ditunjukkan pada gambar 2, hanya ada satu pasang nilai yang memenuhi kedua persamaan, a dan b. Tetapi dalam proses penyelesaian, ada siswa yang mencoba-coba dengan beberapa pasang nilai yang mungkin memenuhi kedua persamaan.

 

Berikut jawaban 2 orang siswa (N dan A) yang menyajikan penyelesaian berbeda.

Peyelesaian N

  • Saya memperhatikan b dan melihat bahwa sebuah persegi dan sebuah segitiga sama dengan 7

  • Sehingga saya mengurangi 12 dengan 7 dan mendapatkan segitiga

  • Saya menuliskan bilangan tersebut (5) sebagai nilai dari segitiga

  • Perseginya 7 dikurangi dengan 5 sama dengan 2

Penyelesaian A

  • Saya memperhatikan b

  • Saya berpikir 3 dan 4 sebagai jawaban b. Tetapi tidak benar setelah saya masukkan ke a.

  • Saya mencoba 5 dan 2. Ternyata tidak bisa digunakan untuk a

  • Saya mencoba lagi 2 untuk persegi dan 5 untuk segitiga. Ternyata benar untuk a.

Dengan masalah yang kontekstual tersebut siswa akan lebih mudah menyelesaikannya dari pada masalah yang langsung dituliskan dalam bentuk aljabarnya, misalkan y + x + x = 12, dan y + x = 7. Karena itu dalam mengembangkan penalaran aljabar siswa sebaikya dimulai dengan masalah-masalah yang “bermakna” bagi mereka, meskipun bentuknya “tidak formal” (dalam hal ini piktorik). Setelah penalaran siswa berkembang dalam masalah non formal, baru dilanjutkan pada bentuk aljabar yang formal.

Masalah berikutnya berkaitan dengan system persamaan dengan empat variable, yang mana biasanya sangat sulit bagi siswa untuk menyelesaikannya. Untuk menjembatani penalaran siswa sebelum masuk pada masalah formal, dapat dikaitkan dengan timbangan berat, Siswa menggunakan informasi dari empat timbangan untuk menentukan berat setiap obyek (silinder, bola, balok, tongkat).

menyelesaikan masalah ini, seorang siswa (T, siswa kelas 7) mengungkapkan penalarannya seperti berikut:

  • Timbangan c menyatakan satu silinder dan satu kotak beratnya 18 kg.

  • Sehingga di timbangan a, berat satu silinder dan satu kotaknya 18 kg dari 34 kg. Karena itu berat silinder yang lain dan bola adalah (34 – 18) kg atau 16 kg.

  • Di timbangan b berat silinder dan bola adalah 16 kg, karena itu berat 4 tongkat harus (20 – 16) kg atau 4 kg, sehingga berat 1 kotak adalah (4:4) kg atau 1 kg.

  • Di timbangan d, berat tongkat adalah 1 kg. berate silinder dan kotak adalah 18 (dari timbangan c), sehingga berat dua kotak adalah (35 – 1 – 18) kg atau 16 kg. Satu kotak adalah (16 : 2) kg atau 8 kg.

  • Di timbangan c, berat kotak adalah 8 kg, sehingga berat silinder (18 – 8) kg atau 10 kg.

  • Di timbangan a, dengan mengganti kotak dengan 8 kg dan setiap silinder dengan 10 kg. Maka kita mendapatkan berat bola (34 – 10 – 10 – 8) kg yang mana hasilnya 6 kg.

Setelah diselesaikan dengan cara mungkin “kurang formal”, masalah ini dapat dibawa ke bentuk aljabar formal dengan menggunakan symbol-simbol yang diperlukan. Sehingga ketika siswa bekerja dengan persamaan yang melibatkan symbol-simbol menjadi lebih bermakna.

Kepusakaan

Crulik, Rudnick, 1999. Inovative Tasks to Improve Critical ad Creative Thinking Skills. Dalam Developing Mathematical Reasoning in Grade K-12. NCTM, Virginia.

 

Greenes, Findell, 1999. Developing Students’ Algebraic Reasoning Abilities. Dalam Developing Mathematical Reasoning in Grade K-12. NCTM, Virginia.

 

Polya, 1973. How to Solve It. 2 nd ed. Princeton, Princeton University Press.

 

 

 

 

 

One response to “Matematika Bermakna

  1. saya setuju dengan penjelasan pak Ary. Bisakah pak Ary memberikan solusi lain bagaimana cara mengajarkan Pertidaksamaan linear dengan satu variabel utk siswa kelas 1 smp secara kontekstual? Atas bantuan bapak saya ucapkan terimakasih.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s